【摘要】第十二课共轭梯度法解方程
运行上一篇的程序得到的结果表明，最陡下降法与迄今为止所其它迭代方法比较，在迭代次数上没有竞争力。然而，如果从根本上改进与[A]相互“共轭”的下降向量。于是，引入了满足以下关系的“下降向量” 按照我的个人理解，共轭梯度法不仅在试解上做修正，还在误差值上做改进，这样做的目的是为了提高迭代效率最陡下降法将被改进为，算例依然采用高斯赛德尔的例…

第十二课共轭梯度法解方程

运行上一篇的程序得到的结果表明，最陡下降法与迄今为止所其它迭代方法比较，在迭代次数上没有竞争力。然而，如果从根本上改进与[A]相互“共轭”的下降向量。于是，引入了满足以下关系的“下降向量”
按照我的个人理解，共轭梯度法不仅在试解上做修正，还在误差值上做改进，这样做的目的是为了提高迭代效率
在这里插入图片描述
最陡下降法将被改进为，
算例依然采用高斯赛德尔的例子
程序代码如下：分别为一个主程序和一个检查收敛的子程序checkit
主程序

#线性联立方程的共轭梯度法
import numpy as np
import math
import B
n=3
converged=np.array([False])
p=np.zeros((n,1))
r=np.zeros((n,1))
u=np.zeros((n,1))
xnew=np.zeros((n,1))
a=np.array([[16,4,8],[4,5,-4],[8,-4,22]],dtype=np.float)
b=np.array([[4],[2],[5]],dtype=np.float)
x=np.array([[1],[1],[1]],dtype=np.float)
tol=1.0e-5
limit=100
print('系数矩阵')
print(a[:])
print('右手边向量',b[:,0])
print('初始猜测值',x[:,0])
r[:]=b[:]-np.dot(a,x)
p[:]=r[:]
print('前几次迭代值')
iters=0
while(True): iters=iters+1 u[:]=np.dot(a,p) up=np.dot(np.transpose(r),r) alpha=up/np.dot(np.transpose(p),u) xnew[:]=x[:]+p[:]*alpha r[:]=r[:]-u[:]*alpha beta=np.dot(np.transpose(r),r)/up p[:]=r[:]+p[:]*beta if iters<5: print(x[:,0]) B.checkit(xnew,x,tol,converged) if converged==True or iters==limit: break x[:,0]=xnew[:,0]
print('到收敛需要迭代次数',iters)
print('解向量',x[:,0]) 
  
 
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checkit

  
 
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def checkit(loads,oldlds,tol,converged):
#检查前后两个量的收敛性
  neq=loads.shape[0]
  big=0.0 converged[:]=True
  for i in range(1,neq+1): if abs(loads[i-1,0])>big: big=abs(loads[i-1,0])
  for i in range(1,neq+1): if abs(loads[i-1,0]-oldlds[i-1,0])/big>tol: converged[:]=False

  
 
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