数据结构篇07、AVL–平衡的二分搜索树

AVl应该是最经典的平衡二分搜索树了，AVL中对平衡的定义是这样的，它是指任一节点的左右子树的高度差不超过1；其中AVL名字是由两个人名的首字母组成的；

1、Node节点类及构造函数

为了方便后面我们使用AVLTree实现映射map，我们将泛型设置为K V键值对的形式；

Node节点类包括key、value、左右两个节点left和right、节点高度height；这个节点高度height变量用于维护平衡；

root节点属性代表根节点；size属性代表AVL中的元素个数；

getSize函数返回元素个数；isEmpty返回AVl是否为空；

public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {

    private class Node{
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        public int height;

        public Node(K key, V value){
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            height = 1;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public AVLTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    、、、
}
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2、判断二叉树是否为二分搜索树、平衡二叉树

判断是否为二分搜索树的方式是借助中序遍历，我们知道二分搜索树的中序遍历是按照顺序排列的，因此我们中序遍历将元素添加都ArrayList中，然后依次比较相邻两个元素即可；

判断是否为平衡二叉树我们借助节点的height属性值；我们使用递归进行判断，我们称节点左右子树的高度差为平衡因子，因此当平衡因子大于1表示不是一棵平衡二叉树，就返回false；否则继续查看左右子树的平衡因子，直到递归到底；

// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST(){

    ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
    inOrder(root, keys);
    for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
        if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
            return false;
    return true;
}

private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){

    if(node == null)
        return;

    inOrder(node.left, keys);
    keys.add(node.key);
    inOrder(node.right, keys);
}

// 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树
public boolean isBalanced(){
    return isBalanced(root);
}

// 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
private boolean isBalanced(Node node){

    if(node == null)
        return true;

    int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
    if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
        return false;
    return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}

// 获得节点node的高度
private int getHeight(Node node){
    if(node == null)
        return 0;
    return node.height;
}

// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
    if(node == null)
        return 0;
    return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
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3、右旋转和左旋转操作

当x、y、z三个节点退化成正斜链表样式时，需要进行右旋转操作，此时对y节点进行右旋转，并返回旋转后新的根节点x；

当x、y、z三个节点退化成反斜链表样式时，需要进行坐旋转操作，此时对y节点进行左旋转，并返回旋转后新的根节点x；

// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
//        y                              x
//       / \                           /   \
//      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
//     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
//    z   T3                       T1  T2 T3 T4
//   / \
// T1   T2
private Node rightRotate(Node y) {
    Node x = y.left;
    Node T3 = x.right;

    // 向右旋转过程
    x.right = y;
    y.left = T3;

    // 更新height
    y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
    x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

    return x;
}

// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
//    y                             x
//  /  \                          /   \
// T1   x      向左旋转 (y)       y     z
//     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
//   T2  z                     T1 T2 T3 T4
//      / \
//     T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
    Node x = y.right;
    Node T2 = x.left;

    // 向左旋转过程
    x.left = y;
    y.right = T2;

    // 更新height
    y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
    x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

    return x;
}
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4、向AVL树中添加元素

向AVL树中添加元素与二分搜索树相同，首先通过递归去添加元素；

添加完元素之后我们需要维护一下平衡性，首先更新节点的height值，然后计算平衡因子，最后根据不平衡的四种情况进行左旋转或者右旋转来维护平衡，我们在上边已经讲过左右旋转了；

// 向AVL中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
    root = add(root, key, value);
}

// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){

    if(node == null){
        size ++;
        return new Node(key, value);
    }

    if(key.compareTo(node.key) < 0)
        node.left = add(node.left, key, value);
    else if(key.compareTo(node.key) > 0)
        node.right = add(node.right, key, value);
    else // key.compareTo(node.key) == 0
        node.value = value;

    // 更新height
    node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));

    // 计算平衡因子
    int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

    // 平衡维护
    // LL
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
        return rightRotate(node);

    // RR
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
        return leftRotate(node);

    // LR
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
        node.left = leftRotate(node.left);
        return rightRotate(node);
    }

    // RL
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
        node.right = rightRotate(node.right);
        return leftRotate(node);
    }

    return node;
}
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5、从AVL树中查找和修改元素

AVL树中查找和修改元素不涉及平衡的维护，因此与二分搜索树完全相同，直接递归到左右子树查找修改即可；

//查找元素
public boolean contains(K key){
    return getNode(root, key) != null;
}

//查找元素并返回对应的value
public V get(K key){

    Node node = getNode(root, key);
    return node == null ? null : node.value;
}

//修改元素的value值
public void set(K key, V newValue){
    Node node = getNode(root, key);
    if(node == null)
        throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");

    node.value = newValue;
}

// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){

    if(node == null)
        return null;

    if(key.equals(node.key))
        return node;
    else if(key.compareTo(node.key) < 0)
        return getNode(node.left, key);
    else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
        return getNode(node.right, key);
}
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6、从AVL树中删除元素

minimum函数用于返回以node为根节点的最小值所在的节点，在删除元素时会用到此子函数；

remove删除元素函数，首先查找元素，如果找到，调用递归函数删除，如果不存在直接返回null；

在递归函数中，开始也跟二分搜索树相同，递归的去左右子树删除，当节点的值等于待删除的元素的值时，说明此节点就是需要删除的节点；此时分三种情况，待删除节点的左子树为空、待删除节点的右子树为空、待删除节点的左右子树均不为空；

在删除完元素之后，我们仍然需要维护一下平衡性，此时维护的过程跟添加元素时基本相同；

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
    if(node.left == null)
        return node;
    return minimum(node.left);
}

// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){

    Node node = getNode(root, key);
    if(node != null){
        root = remove(root, key);
        return node.value;
    }
    return null;
}

private Node remove(Node node, K key){

    if( node == null )
        return null;

    Node retNode;
    if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
        node.left = remove(node.left , key);
        // return node;
        retNode = node;
    }
    else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
        node.right = remove(node.right, key);
        // return node;
        retNode = node;
    }
    else{   // key.compareTo(node.key) == 0

        // 待删除节点左子树为空的情况
        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            // return rightNode;
            retNode = rightNode;
        }

        // 待删除节点右子树为空的情况
        else if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            // return leftNode;
            retNode = leftNode;
        }

        // 待删除节点左右子树均不为空的情况
        else{
            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            //successor.right = removeMin(node.right);
            successor.right = remove(node.right, successor.key);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            // return successor;
            retNode = successor;
        }
    }

    if(retNode == null)
        return null;

    // 更新height
    retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));

    // 计算平衡因子
    int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

    // 平衡维护
    // LL
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
        return rightRotate(retNode);

    // RR
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
        return leftRotate(retNode);

    // LR
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
        retNode.left = leftRotate(retNode.left);
        return rightRotate(retNode);
    }

    // RL
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
        retNode.right = rightRotate(retNode.right);
        return leftRotate(retNode);
    }

    return retNode;
}
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7、AVLTree全部代码

import java.util.ArrayList;

public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {

    private class Node{
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        public int height;

        public Node(K key, V value){
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            height = 1;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public AVLTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
    public boolean isBST(){

        ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
        inOrder(root, keys);
        for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
            if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
                return false;
        return true;
    }

    private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){

        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left, keys);
        keys.add(node.key);
        inOrder(node.right, keys);
    }

    // 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树
    public boolean isBalanced(){
        return isBalanced(root);
    }

    // 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
    private boolean isBalanced(Node node){

        if(node == null)
            return true;

        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
            return false;
        return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
    }

    // 获得节点node的高度
    private int getHeight(Node node){
        if(node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }

    // 获得节点node的平衡因子
    private int getBalanceFactor(Node node){
        if(node == null)
            return 0;
        return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
    }

    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //        y                              x
    //       / \                           /   \
    //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
    //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
    //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
    //   / \
    // T1   T2
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T3 = x.right;

        // 向右旋转过程
        x.right = y;
        y.left = T3;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

        return x;
    }

    // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //    y                             x
    //  /  \                          /   \
    // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
    //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
    //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
    //      / \
    //     T3 T4
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node T2 = x.left;

        // 向左旋转过程
        x.left = y;
        y.right = T2;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;

        return x;
    }

    // 向AVL中添加新的元素(key, value)
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, K key, V value){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value);
        }

        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else // key.compareTo(node.key) == 0
            node.value = value;

        // 更新height
        node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

        // 平衡维护
        // LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
            return rightRotate(node);

        // RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
            return leftRotate(node);

        // LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        // RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node;
    }

    //查找元素
    public boolean contains(K key){
        return getNode(root, key) != null;
    }

    //查找元素并返回对应的value
    public V get(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        return node == null ? null : node.value;
    }

    //修改元素的value值
    public void set(K key, V newValue){
        Node node = getNode(root, key);
        if(node == null)
            throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");

        node.value = newValue;
    }

    // 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
    private Node getNode(Node node, K key){

        if(node == null)
            return null;

        if(key.equals(node.key))
            return node;
        else if(key.compareTo(node.key) < 0)
            return getNode(node.left, key);
        else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
            return getNode(node.right, key);
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 从二分搜索树中删除键为key的节点
    public V remove(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        if(node != null){
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }

    private Node remove(Node node, K key){

        if( node == null )
            return null;

        Node retNode;
        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , key);
            // return node;
            retNode = node;
        }
        else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, key);
            // return node;
            retNode = node;
        }
        else{   // key.compareTo(node.key) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                // return rightNode;
                retNode = rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            else if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                // return leftNode;
                retNode = leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            else{
                // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                Node successor = minimum(node.right);
                //successor.right = removeMin(node.right);
                successor.right = remove(node.right, successor.key);
                successor.left = node.left;

                node.left = node.right = null;

                // return successor;
                retNode = successor;
            }
        }

        if(retNode == null)
            return null;

        // 更新height
        retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

        // 平衡维护
        // LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
            return rightRotate(retNode);

        // RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
            return leftRotate(retNode);

        // LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }

        // RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }

        return retNode;
    }
}
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