数据结构与算法学习笔记（JAVA）——第七章 排序算法

一、介绍（Sort Algorithm）

1.1 概要

排序算法，是将一组数据，按照指定的顺序进行排列的过程。

1.2 分类

（1）内部排序—重点

将需要处理的所有数据都加载在内部存储器中进行排序

（2）外部排序

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储（文件等）进行排序

（2）常见的排序算法分类如下：

二、算法的时间复杂度

2.1 度量一个程序（算法）执行时间的两种方法

（1）事后统计的方法

这种方法可行,但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

（2）事前估计的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

2.2 时间频度

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.2.1 举例说明

比如计算1-100所有数字之和,我们设计两种算法：

2.2.2 忽略常数项

结论:

• 2n+20和2n随着n变大，执行曲线无限接近,20可以忽略
• 3n+10和3n随着n变大，执行曲线无限接近,10可以忽略

2.2.3 忽略低次项

结论:

• 2n^2+3n+10和2n^2随着n变大,执行曲线无限接近,可以忽略3n+10
• n^2+5n+20和n^2随着n变大,执行曲线无限接近,可以忽略5n+20

2.2.4 忽略系数

结论：

• 随着n值变大，5n^2+7n和3n^2+2n，两者渐渐重复，最后两者比值接近 ~5/3。
• 随着n值变大，n^3+5n和6n^3+4n，两者渐渐分离，最后两者比值接近 ~1/6。
• 表达式的次方表示增长速度，系数在统计时间频度时可以暂时忽略。

2.3 时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n))，称Ｏ(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2. T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6与T(n)=3n²+2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
3. 计算时间复杂度的方法：

• 用常数1代替运行时间中的所有加法常数。 T(n)=3n²+7n+6=>T(n)=3n²+7n+1
• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 T(n)=T(n)=3n²+7n+1=>T(n)=3n²
• 去除最高阶项的系数。 T(n)=3n²=>T(n)=n²=>O(n²)

2.4 常见的时间复杂度

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(log2n)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlog2n)
• 平方阶O(n^2)
• 立方阶O(n^3)
• k次方阶O(n^k)
• 指数阶O(2^n)

2.4.1 常见的时间复杂度的图解

说明：

• 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
• 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2.4.2 详细介绍

1. 常数阶O(1)

2. 对数阶O(log2n)

3. 线性阶O(n)

4. 线性对数阶O(nlog2n)

5. 平方阶O(n^2)

6. 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²)去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

2.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

三、算法的空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(SpaceComplexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2. 空间复杂度(SpaceComplexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法,基数排序就属于这种情况
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis,memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
4. 各算法的空间复杂度，如上一节的图。