数据结构面试之九——图的常见操作3之最小生成树

题注：《面试宝典》有相关习题，但思路相对不清晰，排版有错误，作者对此参考相关书籍和自己观点进行了重写，供大家参考。

九、图的常见操作3之最小生成树

最小生成树——包含带权图中的全部顶点并不能形成环，且权值之和最小的图。

求解最小生成树的方法包括：Prim算法和Kruskal算法。

对于Prim算法思想：1）从源结点集中选定一个源结点（初始源节点集合中只有设定一个结点）；2）从剩余结点中选择与源节点集有连接的且权值最小的边。将该源节点加入源节点集合中。然后迭代执行1），2）。

如下图的图结构，含有7个顶点，下图示为图的邻接矩阵存储结构。

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模拟执行步骤如下：

前提： 源节点集合VertexSet中初始只有设定的0（假定，可以任意取0à6中任意值）。起初初始的边结合EdgeSet为空。

步骤1： 从与0相连的边集合中，选定权值最小的边，对应上图Vertex0行显然为2。所以选择的顶点为Vertex3。

步骤2： 从与{0,3}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为5。所以选择的顶点为Vertex2。

集合变为：

步骤3： 从与{0,3,2}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为4。所以选择的顶点为Vertex6。

集合变为：

步骤4： 从与{0,3,2,6}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为5。所以选择的顶点为Vertex1。

集合变为：

步骤5： 从与{0,3,2,6,1}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为2。所以选择的顶点为Vertex4。

集合变为：

步骤6： 从与{0,3,2,6,1,4}相连的边集合中，选定权值最小的边，如下图，显然权值为2。所以选择的顶点为Vertex4。

集合变为：

最后： 遍历后的结果如下2图：即包含所有顶点，没有环路，且权值最小。

//inifinity 代表权值无穷大，即不可达。
int g_WeightMatrix[7][7] ={0,6,5,2,infinity,infinity,infinity,
                                                 6,0,infinity,infinity,2,infinity,4,
                                                 5,infinity,0,infinity,infinity,7,5,
                                                 2,infinity,infinity,0,8,infinity,infinity,
                                                 infinity,2,infinity,8,0,10,infinity,
                                                 infinity,infinity,7,infinity,10,0,infinity,
                                                 infinity,4,5,infinity,infinity,infinity,0};
 
template<class vType, int size>
class msTreeType : publicgraphType<vType, size>
{
public:
       voidcreateSpanningGraph();
       voidminimalSpanning(vType sVertex);
       voidprintTreeAndWeight();
protected:
       vTypesource;             //
       intweights[size][size];  //权重数组
       intedges[size];          //边的集合,edges[0]=5即代表0-5之间有边存在。
       intedgeWeights[size];    //存储从某顶点开始的权重.
};
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1.创建权重图

创建权重图的时候，我们做了简化处理。只是将给定的权重数组赋值过来了。[此处稍作修改，便可以改为手动输入顶点及邻接边的关系]。图的存储形式：邻接矩阵存储！

template <class vType, int size>
voidmsTreeType<vType,size>::createSpanningGraph()
{
       gSize= size;
       source= 0;                   //记录初始点为0.
       for(int i = 0; i < size; i++)
       {
              for(int j =0; j < size; j++)
              {
                     weights[i][j]= g_WeightMatrix[i][j];
                     if(weights[i][j]!= 0 && weights[i][j] != infinity)
                     {
                            edges[i]= j;            //代表i--j之间的连线存在
                     //     cout << "edges[ " <<i << " ]=" << edges[i] << "\t";
                     }
                     cout<< weights[i][j] << "\t";
              }
              cout<< endl;
       }
}
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2.最小生成树

1.巧妙的记录源结点、目标结点的方法(通过数组下标和结果值）；2.还需要存储每次比较后的最小的权重值。

template <class vType, int size>
voidmsTreeType<vType,size>::minimalSpanning(vType sVertex)
{
       vType startVertex, endVertex;
       int minWeight;
       source = sVertex;
 
//代表mstree的结点结合中是否存在点. mstv[5] =true,代表结点5在集合中已经存在。
//=false,则代表不存在.
       bool mstv[size];
 
//初始化 0代表到自身, infinity代表不可达.
       for(int j = 0; j < gSize; j++)
       {
              mstv[j]= false;
              edges[j]= source;
              edgeWeights[j]= weights[source][j];
       }
 
       mstv[source]= true;
       edgeWeights[source]= 0;       //初始设定
 
       for(int i = 0; i < gSize-1; i++)
       {
              minWeight= infinity;   
 
//从所有顶点中寻找权重最小且未被标识的顶点,v记录该顶点,minWeight记录权重值。
              for(int j = 0; j < gSize; j++)
              {
                     if(mstv[j])//mstv中已经存在的点j
                     {
                            for(intk=0; k < gSize; k++)
                            {
                                   //寻找由已经存在的结点中到剩余结点权值最小的边。
                                   if(!mstv[k]&& weights[j][k] < minWeight) 
                                   {
                                          endVertex= k;    //目的
                                          startVertex= j;  //源
                                          minWeight= weights[j][k]; //最小权重
                                   }
                            }//endfor k
                     }//endif(mstv[j])
              }//endfor j
 
              mstv[endVertex]= true;
              edges[endVertex]= startVertex;
              edgeWeights[endVertex]= minWeight;
       }//endfor
}
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3.打印小生成树

template <class vType, int size>
voidmsTreeType<vType,size>::printTreeAndWeight()
{
       inttreeWeight = 0;
       minimalSpanning(source);
      
       cout<< "Source vertex: " << source << endl;
       cout<< "Edges\t\tWeight" << endl;
 
       for(int j = 0; j < gSize; j++)
       {
              if(edgeWeights[j]!= 0)
              {
                     treeWeight= treeWeight + edgeWeights[j];
                     cout<< "(" << j << ", " <<edges[j]  << ")\t\t"<< edgeWeights[j] << endl;
              }
       }
       cout<< endl;
       cout<< "Tree Weight: " << treeWeight << endl;
}
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