1.应用场景-修路问题

问题:

1. 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D E, F, G),

2. 各个村庄的距离用边线标识(权), 比如 A – B 距离5 公里

3. 如何修路保证各个村庄能够联通,并且总的修建公路总里程最短

思路:

将10条边, 连接即可, 但是总的里程数不是最小

正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小, 保证总里程数最少

2. 最小生成树

修路问题本质就是 最小生成树, 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree), 简称MST

给定一个带权的无向连通图, 如何选取一颗生成树, 使树上所有边上权的总和为最小, 这叫最小生成树

1. N个顶点, 一定有N-1条边

2. 包含全部顶点

3. N-1条边都在图中

4. 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克苏鲁斯卡尔算法

3. 普利姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树, 也就是在包含 n 个顶点的连通图中, 找出只要(n-1)条边包含所有n 个顶点的连通子图, 也就是所谓的极小连通子图

1. 设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合

2. 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1

3. 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1

4. 重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边

4. 实践(普利姆算法)-修路问题

1. 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通

2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里

3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

5. 代码实现

public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        //测试看看图是否创建OK
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int verxs = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};

        //创建 MGraph 对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        //创建一个 MinTree 对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);
    }

}

/**
 * 创建最小生成树 -> 村庄的图
 */
class MinTree {

    /**
     * 创建图的邻接矩阵
     *
     * @param graph  图对象
     * @param verxs  图对应的顶点个数
     * @param data   图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 显示图的邻接矩阵
     *
     * @param graph
     */
    public void showGraph(MGraph graph) {
        int[][] weight = graph.weight;
        for (int[] link : weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    /**
     * 编写prim算法, 得到最小生成树
     *
     * @param graph 图
     * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成 A-> 0 B-> 1
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        //visited 标记节点(顶点)是否被访问过
        int[] visited = new int[graph.verxs];
        //visited 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
        for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
            visited[i] = 0;
        }

        //把当前这个结点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        //将 minWeight 初始成一个大数, 后面在遍历过程中, 会被替换
        int minWeight = 10000;
        //因为有 gragh.verxs 顶点, 普利姆算法结束后, 有 graph.verxs - 1边
        for (int k = 0; k < graph.verxs; k++) {
            //这个是确定每一次生成的子图, 和哪个节点的距离最近
            //i节点表示被访问过的节点
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                //j节点表示还没有访问过的结点
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        //替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }

            //找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            //minWeight 重新设置为最大值 10000
            minWeight = 10000;
        }
    }
}

class MGraph {

    /**
     * 表示图的节点个数
     */
    int verxs;

    /**
     * 存放节点数据
     */
    char[] data;

    /**
     * 存放边, 就是我们的邻接矩阵
     */
    int[][] weight;

    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        this.data = new char[verxs];
        this.weight = new int[verxs][verxs];
    }
}
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