吴恩达机器学习-3-逻辑回归与正则化问题

吴恩达机器学习-3-逻辑回归与正则化问题

第三周主要讲解的内容包含：

• 逻辑回归
• 代价函数
• 线性回归和逻辑回归的比较
• 正则化问题

逻辑回归

分类问题

假设预测的变量y是离散的值，需要使用逻辑回归Logistic Regression，LR的算法，实际上它是一种分类算法

二元分类问题

将因变量dependent variable可能属于的两个类分别称为负向类negative class和正向类positive class，因变量y的取值只能在0和1之间，其中0表示负类，1表示正类

假说表示Hypothesis Representation

分类器的输出值在0和1之间，因此，希望找出一个满足某个性质的假设函数，这个性质是它的预测值要在0和1之间

引入一个新的模型：逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在0和1之间。 逻辑回归模型的假设是： $h(\theta) = g(\theta^TX)$ 其中X代表的是特征向量g的逻辑函数，常用的S型函数（上图的右边，sigmoid function）公式为 $g(z)= \frac{1}{1+e^{-z}}$ Python代码实现sigmod激活函数：

import numpy as np

def sigmod(z):
  return 1 / (1 + np.exp(-z))
复制代码

$h_\theta(x)=g(z)= \frac{1}{1+e^{{-\theta^T}X}}$

$h_{\theta}(x)$作用是对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量=1的可能性，即：$h_{\theta}(x)=P(y=1|x;\theta)$

例如：对于给定的x，通过已经确定的参数计算得出$h_{\theta}(x)=0.7$，则表示有70%的几率y属于正类

决策边界decision boundary

解释逻辑回归

1. 在逻辑回归中$h \geq 0.5$预测$y=1$；反之y=0
2. 在激活函数$g(z)$中：

当$z \geq 0$则$g(z) \geq 0.5$

当$z < 0$则$g(z) < 0.5$

又因为$z={\theta^{T}}x$，那么当${\theta^T}x \geq 0$的时候，则有$y=1$；反之$y=0$

又因为 $z={\theta^{T}}x$ ，即： ${\theta^{T}}x>=0$ 时，预测 $y=1$ ；反之：${\theta^{T}}x<0$ 时，预测 $y=0$

实例demo

在下图的中实例中，参数$\theta$满足[-3,1,1]，当$-3+x_1+x_2 \geq0$，即$x_1+x_2\geq3$时，模型预测y=1；说明此时：直线$x_1+x_2=3$就是决策边界

复杂的模型边界问题

代价函数Cost Function

如何拟合LR模型的参数$\theta$

1. 线性模型中代价函数是模型误差的平方和 ：

$J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum^m_{i=1}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$

如果直接使用线性模型中的代价函数，即误差平方和，得到的代价函数是个**”非凸函数”**，但是实际上我们期望看的是凸函数（右边）

1. 重新定义逻辑回归的代价函数

   

   $h_\theta(x)=g(\theta^TX)= \frac{1}{1+e^{-\theta^TX}}$

   $J(\theta)=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}Cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)})$

   $Cost(h_\theta(x), y) = \begin{cases} -\log(h_\theta(x)), & \text{y=1} \ -\log(1-h_\theta(x)), & \text{y=0} \ \end{cases}$

将上面的两个式子进行合并：

$Cost(h_\theta(x), y)=-y\log(h_\theta(x))-(1-y)\log(1-h_\theta(x))$

1. $h_\theta(x)$和$Cost(h_\theta(x),y)$之间的关系

根据y的不同取值来进行分别判断，同时需要注意的是：假设函数h的取值只在[0,1]之间

y=1的情形

y=0的情形

Python代码实现代价函数

利用Python实现下面的代价函数

• first 表示的是右边第一项
• second 表示的是右边第二项

$Cost(h_\theta(x), y)=-y\log(h_\theta(x))-(1-y)\log(1-h_\theta(x))$

import numpy as np

def cost(theta, X, y):
  # 实现代价函数
  
  theta=np.matrix(theta)
  X = np.matrix(X)
  y = np.matrxi(y)
  
  first = np.multiply(-y, np.log(sigmod(X * theta.T)))
  second = np.multiply((1 - y), np.log(1-sigmod(X * theta.T)))
  
  return np.sum(first - second) / (len(X))
复制代码

利用梯度下降来求解LR最小参数

1、LR中的代价函数是

$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}[-y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{i}))]$

2、最终结果

$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}[h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}$

3、具体过程

不断地迭代更新$\theta_{j}：$

$\theta_{j} := \theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$

$\theta_{j} := \theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}[h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}$

如果存在n个特征，也就是$\theta=[\theta_0,\theta_1,…,\theta_n]^T$。那么就需要根据上面的式子从$0~n$来更新所有的$\theta$

线性回归 VS 逻辑回归

1. 假设的定义规则发生变化

线性回归：

$h_{\theta}{(x)}=\theta^TX=\theta_0x_0+…+\theta_nx_n$

逻辑回归：

$h_\theta{(x)}= \frac{1}{1+e^{-\theta^{T}X}}$

因此，即使更新参数的规则看起来基本相同，但由于假设的定义发生了变化，所以逻辑函数的梯度下降，跟线性回归的梯度下降实际上是两个完全不同的东西。

其他求解代价函数最小的算法

• 共轭梯度conjugate gradient
• 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS
• 有限内存局部优化法LBFGS

多类别分类one-vs-all

我们举一个实际中的例子来说明：

假如现在需要一个学习算法能自动地将邮件归类到不同的文件夹里，或者说可以自动地加上标签，那么需要一些不同的文件夹，或者不同的标签来完成这件事，来区分开来自工作、朋友、家人或者有关兴趣爱好的邮件，那么，就有了这样一个分类问题：其类别有4个，分别用$y=1,2,3,4$ 来代表。

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正则化问题Regularization

正则化基础

正则化技术主要是为了解决过拟合的问题。过拟合指的是：对样本数据具有很好的判断能力，但是对新的数据预测能力很差。

• 第一个模型是一个线性模型，欠拟合，不能很好地适应我们的训练集
• 第三个模型是一个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据
• 中间的模型似乎最合适

如果是多项式拟合，x的次数越高，拟合的效果越好，但是相应的预测能力就可能变差。对于过拟合的处理：

1. 丢弃一些不能正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法，例如PCA
2. 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小magnitude*

加入正则化参数

在模型$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3+\theta_4x_4$中，主要是高次项产生的过拟合问题：

加入正则化参数后能够防止过拟合问题，其中$\lambda$是正则化参数Regularization Parameter

那么，相应的代价函数变成为：

$J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum^m_{i=1}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2+\lambda \sum^n_{j=1}\theta^2_{j}$

Attention：

• 一般地，不对$\theta_0$进行惩罚；加上正则化参数实际上是对参数$\theta$进行惩罚。经过正则化处理后的模型和原模型的对比：

• 如果$\lambda$过大，所有的参数最小化，模型变成了$h_\theta(x)=\theta_0$，造成了过拟合

正则化线性回归Regularized Linear Regression

正则化线性回归的代价函数：

$J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum^m_{i=1}[(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2+\lambda \sum^n_{j=1}\theta^2_{j}]$

Attention：在线性回归中，不对$\theta_0$进行正则化：

${\theta_0}:={\theta_0}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{0}^{(i)}}$

当$j=1,2,…,n$时：

${\theta_j}:={\theta_j}-a[\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}+\frac{\lambda }{m}{\theta_j}] ；j=1,2,…,n$

调整下变成：

${\theta_j}:={\theta_j}(1-\frac{\lambda }{m})-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}$

正则化逻辑回归Regularized Logistic Regression

LR问题两种优化方法：

• 梯度下降法
• 更高级优化算法

加上正则惩罚项后的代价函数为：

$J(\theta)=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}[-y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{i}))]+\frac{\lambda}{2m}\sum^n_{j=1}\theta^2_j$

python代码实现

import numpy as np

# 实现代价函数
def costReg(theta, X, y, lr):
  theta= np.matrix(theta)
  X = np.matrix(X)
  y = np.matrix(y)
  
  first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X * theta.T)))
  second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))
  reg = (lr / (2 * len(X)) * np.sum(np.power(theta[:, 1:theta.shape[1]], 2))   # theta[:, 1:theta.shape[1]] 代表的是 \theta_j 
  return np.sum(first - second) / len((X)) + reg
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通过求导，得到梯度下降算法，本质上就是对$\theta$的不断更新：

${\theta_0}:={\theta_0}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{0}^{(i)}})$

${\theta_j}:={\theta_j}-a[\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({h_\theta}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}+\frac{\lambda }{m}{\theta_j}] ； j=1,2,…,n$