LCS 模型：求「最值问题」只需要确保「不漏」即可

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1035. 不相交的线 ，难度为中等。

Tag : 「最长公共子序列」、「序列 DP」、「LCS」

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例 1：

输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]

输出：2

解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
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示例 2：

输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]

输出：3
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示例 3：

输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]

输出：2
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提示：

1 <= nums1.length <= 500
1 <= nums2.length <= 500
1 <= nums1[i], nums2[i] <= 2000

动态规划

这是一道「最长公共子序列（LCS）」的轻度变形题。

为了让你更好的与「最长公共子序列（LCS）」裸题进行对比，我们使用 $s1$ 代指 $nums1$ ， $s2$ 代指 $nums2$ 。

对于这类题都使用如下「状态定义」即可：

$f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j$ 的字符，形成的最长公共子序列长度。

然后不失一般性的考虑 $f[i][j]$ 如何转移。

由于我们的「状态定义」只是说「考虑前 $i$ 个和考虑前 $j$ 个字符」，并没有说「一定要包含第 $i$ 个或者第 $j$ 个字符」（这也是「最长公共子序列 LCS」与「最长上升子序列 LIS」状态定义上的最大不同）。

我们需要考虑「不包含 $s1[i]$ ，不包含 $s2[j]$ 」、「不包含 $s1[i]$ ，包含 $s2[j]$ 」「包含 $s1[i]$ ，不包含 $s2[j]$ 」、「包含 $s1[i]$ ，包含 $s2[j]$ 」四种情况：

不包含 $s1[i]$ ，不包含 $s2[j]$ ：结合状态定义，可以使用 $f[i – 1][j – 1]$ 进行精确表示。
包含 $s1[i]$ ，包含 $s2[j]$ ：前提是 $s1[i] = s2[j]$ ，可以使用 $f[i – 1][j – 1] + 1$ 进行精确表示。
不包含 $s1[i]$ ，包含 $s2[j]$ ：结合状态定义，我们无法直接将该情况表示出来。
注意 $f[i – 1][j]$ 只是表示「必然不包含 $s1[i]$ ，但可能包含 $s2[j]$ 」的情况，也就是说 $f[i – 1][j]$ 其实是该情况与情况 $1$ 的合集。
但是由于我们求的是「最大值」，只需要确保「不漏」即可保证答案的正确（某些情况被重复参与比较不影响正确性），因此这里直接使用 $f[i – 1][j]$ 进行表示没有问题。
包含 $s1[i]$ ，不包含 $s2[j]$ ：与情况 $3$ 同理，直接使用 $f[i][j – 1]$ 表示没有问题。

$f[i][j]$ 就是在上述所有情况中取 $max$ 而来，由于情况 $1$ 被情况 $3$ 和情况 $4$ 所包含，因此我们只需要考虑 $f[i – 1][j]$ 、 $f[i][j -1]$ 和 $f[i – 1][j – 1] + 1$ 三种状态即可，其中最后一种状态需要满足 $s1[i] = s2[j]$ 前提条件。