分段线性 DP 问题，以及常见空间优化手段

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题目描述

这是 LeetCode 上的 91. 解码方法 ，难度为中等。

Tag : 「线性 DP」

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了编码：

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
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要解码已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，”11106″ 可以映射为：

“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6)
“KJF” ，将消息分组为 (11 10 6)

注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的非空字符串 s ，请计算并返回解码方法的总数。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位的整数。

示例 1：

输入：s = "12"

输出：2

解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。
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示例 2：

输入：s = "226"

输出：3

解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。
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示例 3：

输入：s = "0"

输出：0

解释：没有字符映射到以 0 开头的数字。
含有 0 的有效映射是 'J' -> "10" 和 'T'-> "20" 。
由于没有字符，因此没有有效的方法对此进行解码，因为所有数字都需要映射。
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示例 4：

输入：s = "06"

输出：0

解释："06" 不能映射到 "F" ，因为字符串含有前导 0（"6" 和 "06" 在映射中并不等价）。
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提示：

1 <= s.length <= 100
s 只包含数字，并且可能包含前导零。

基本分析

我们称一个解码内容为一个 item。

为根据题意，每个 item 可以由一个数字组成，也可以由两个数字组成。

数据范围为 100，很具有迷惑性，可能会有不少同学会想使用 DFS 进行爆搜。

我们可以大致分析一下这样的做法是否可行：不失一般性的考虑字符串 s 中的任意位置 i，位置 i 既可以作为一个独立 item，也可以与上一位置组成新 item，那么相当于每个位置都有两种分割选择（先不考虑分割结果的合法性问题），这样做法的复杂度是 $O(2^n)$ 的，当 n 范围是 100 时，远超我们计算机单秒运算量（ $10^7$ ）。即使我们将「判断分割结果是否合法」的操作放到爆搜过程中做剪枝，也与我们的单秒最大运算量相差很远。

递归的方法不可行，我们需要考虑递推的解法。

动态规划

这其实是一道字符串类的动态规划题，不难发现对于字符串 s 的某个位置 i 而言，我们只关心「位置 i 自己能否形成独立 item 」和「位置 i 能够与上一位置（i-1）能否形成 item」，而不关心 i-1 之前的位置。

有了以上分析，我们可以从前往后处理字符串 s，使用一个数组记录以字符串 s 的每一位作为结尾的解码方案数。即定义 $f[i]$ 为考虑前 $i$ 个字符的解码方案数。

对于字符串 s 的任意位置 i 而言，其存在三种情况：

只能由位置 i 的单独作为一个 item，设为 a，转移的前提是 a 的数值范围为 $[1,9]$ ，转移逻辑为 $f[i] = f[i – 1]$ 。
只能由位置 i 的与前一位置（i-1）共同作为一个 item，设为 b，转移的前提是 b 的数值范围为 $[10,26]$ ，转移逻辑为 $f[i] = f[i – 2]$ 。
位置 i 既能作为独立 item 也能与上一位置形成 item，转移逻辑为 $f[i] = f[i – 1] + f[i – 2]$ 。