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题目描述

有一个长度为 arrLen 的数组，开始有一个指针在索引 0 处。

每一步操作中，你可以将指针向左或向右移动 1 步，或者停在原地（指针不能被移动到数组范围外）。

给你两个整数 steps 和 arrLen ，请你计算并返回：在恰好执行 steps 次操作以后，指针仍然指向索引 0 处的方案数。

由于答案可能会很大，请返回方案数模 10^9 + 7 后的结果。

示例 1：

输入：steps = 3, arrLen = 2
输出：4
解释：3 步后，总共有 4 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左，不动
不动，向右，向左
向右，不动，向左
不动，不动，不动

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps
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思路分析

这个题目求的是方案数值，使用一般采用动态规划求解。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
具体分析题目，需要创建一个二维数组，dp[i][j]表示在i步操作之后，指针位于下标j的方案数。
i的范围是 0 <= i <= steps, j 的范围是 0 <= j <= arrLen – 1。进一步分析，下标不会超过 steps, j 的范围可优化为 0 <= j <= Math.min(steps, arrLen – 1)
初始值 dp[0][0] = 1， dp[0][j] = 0;
根据题意,状态转移方程为: dp[i][j] = dp[i – 1][j – 1] + dp[i – 1][j] + dp[i -1][j + 1] 构成。

AC代码

    public int numWays(int steps, int arrLen) {
        int MODULO = 1000000007;
        int maxColumn = Math.min(arrLen - 1, steps);
        int[][] dp = new int[steps + 1][maxColumn + 1];
        dp[0][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= steps; i++) {
            for (int j = 0; j <= maxColumn; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j - 1 >= 0) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % MODULO;
                }
                if (j + 1 <= maxColumn) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j + 1]) % MODULO;
                }
            }
        }

        return dp[steps][0];
    }
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