如何挖掘二叉树特性的「规律」解法（含证明）| Java 刷题打卡-一一网

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题目描述

这是 LeetCode 上的 331. 验证二叉树的前序序列化 ，难度为中等。

Tag : 「二叉树」

序列化二叉树的一种方法是使用前序遍历。当我们遇到一个非空节点时，我们可以记录下这个节点的值。如果它是一个空节点，我们可以使用一个标记值记录，例如 #。

     _9_
    /   \
   3     2
  / \   / \
 4   1  #  6
/ \ / \   / \
# # # #   # #
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例如，上面的二叉树可以被序列化为字符串 “9,3,4,#,#,1,#,#,2,#,6,#,#”，其中 # 代表一个空节点。

给定一串以逗号分隔的序列，验证它是否是正确的二叉树的前序序列化。编写一个在不重构树的条件下的可行算法。

每个以逗号分隔的字符或为一个整数或为一个表示 null 指针的 ‘#’ 。

你可以认为输入格式总是有效的，例如它永远不会包含两个连续的逗号，比如 “1,,3” 。

示例 1:

输入: "9,3,4,#,#,1,#,#,2,#,6,#,#"
输出: true
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示例 2:

输入: "1,#"
输出: false
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示例 3:

输入: "9,#,#,1"
输出: false
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二叉树规律解法

事实上，我们能利用「二叉树」的特性来做。

由于每一个非空节点都对应了 2 个出度，空节点都对应了 0 个出度；除了根节点，每个节点都有一个入度。

我们可以使用 in 和 out 来分别记录「入度」和「出度」的数量；m 和 n 分别代表「非空节点数量」和「空节点数量」。

同时，一颗合格的二叉树最终结果必然满足 in == out。

但我们又不能只利用最终 in == out 来判断是否合法，这很容易可以举出反例：考虑将一个合法序列的空节点全部提前，这样最终结果仍然满足 in == out，但这样的二叉树是不存在的。

我们还需要一些额外的特性，支持我们在遍历过程中提前知道一颗二叉树不合法。

例如，我们可以从合格二叉树的前提出发，挖掘遍历过程中 in 和 out 与 n 和 m 的关系。

证明 1（利用不等式）

我们令非空节点数量为 m，空节点数量为 n，入度和出度仍然使用 in 和 out 代表。

找一下 in 和 out 与 n 和 m 之间的关系。

一颗合格二叉树 m 和 n 的最小的比例关系是 1 : 2，也就是对应了这么一个形状：

 4 
/ \
# #
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而遍历过程中 m 和 n 的最小的比例关系则是 1 : 0，这其实对应了二叉树空节点总是跟在非空节点的后面这一性质。

换句话说，在没到最后一个节点之前，我们是不会遇到空节点数量 > 非空节点数量的情况的。

非空节点数量 >= 空节点数量在遍历没结束前恒成立：m>=n

然后再结合「每一个非空节点都对应了 2 个出度，空节点都对应了 0 个出度；除了根节点，每个节点都有一个入度」特性。

在遍历尚未结束前，我们有以下关系：

$m >= n$
$in <= m + n – 1$
$out <= 2 * m$

简单的变形可得：

由 2 变形可得： $m >= in + 1 – n$
由 3 变形可得： $m >= out / 2$

即有：

$m >= n$
$m >= in + 1 – n$
$m >= out / 2$

再将 1 和 2 相加，抵消 n： $2m >= in + 1$

$2m >= in + 1$ => $in <= 2m – 1$
$m >= out / 2$ => $out <= 2m$

因此，在遍历尚未完成时，in 和 out 始终满足上述关系（与空节点数量 n 无关）。

如果不从合格二叉树的前提（ $m>=n$ ）出发，我们是无法得到上述关系式的。

因此，我们可以一边遍历一边统计「严格出度」和「严格入度」，然后写一个 check 函数去判定 in out m 三者关系是否符合要求，如果不符合则说明二叉树不合法。

class Solution {
  public boolean isValidSerialization(String s) {
    String[] ss = s.split(",");
    int n = ss.length;
    int in = 0, out = 0;
    for (int i = 0, m = 0; i < n; i++) {
      // 统计「严格出度」和「严格入度」...
      if (i != n - 1 && !check(m, in, out)) return false;
    } 
    return in == out;
  }
  boolean check(int m, int in, int out) {
    boolean a = (in <= 2 * m - 1), b = (out <= 2 * m);
    return a && b; 
  }
}
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注意：因为我们这里的证明使用到的是不等式。因此统计的必须是「严格出度」&「严格入度」，不能假定一个「非空节点（非根）」必然对应两个「出度」和一个「入度」。

要想统计出「严格出度」&「严格入度」在编码上还是有一定难度的。那么是否可以推导出更加简单性质来使用呢？

请看「证明 2」。

证明 2（利用技巧转换为等式）

我们令非空节点数量为 m，空节点数量为 n，入度和出度仍然使用 in 和 out 代表。

找一下 in 和 out 与 n 和 m 之间的关系。

一颗合格二叉树 m 和 n 的最小的比例关系是 1 : 2，也就是对应了这么一个形状：

 4 
/ \
# #
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而遍历过程中 m 和 n 的最小的比例关系则是 1 : 0，这其实对应了二叉树空节点总是跟在非空节点的后面这一性质。

换句话说，在没到最后一个节点之前，我们是不会遇到 空节点数量 > 非空节点数量 的情况的。

非空节点数量 >= 空节点数量 在遍历没结束前恒成立： $m>=n$

之后我们再采用一个技巧，就是遍历过程中每遇到一个「非空节点」就增加两个「出度」和一个「入度」，每遇到一个「空节点」只增加一个「入度」。而不管每个「非空节点」是否真实对应两个子节点。

那么我们的起始条件变成：

$m >= n$
$in = m + n – 1$
$out = 2 * m$

从第 2 个等式出发，结合第 1 个等式：

$in = m + n – 1 <= m + m – 1 = 2m – 1 = out – 1$

即可得 $in + 1 <= out$ ，也就是 in < out 恒成立。

代码：

class Solution {
    public boolean isValidSerialization(String s) {
        String[] ss = s.split(",");
        int n = ss.length;
        int in = 0, out = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!ss[i].equals("#")) out += 2;
            if (i != 0) in++;
            if (i != n - 1 && out <= in) return false;
        } 
        return in == out;
    }
}
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