经典区间 DP & 经典博弈游戏

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题目描述

这是 LeetCode 上的 877. 石子游戏 ，难度为 中等。

Tag : 「区间 DP」、「博弈论」

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

示例：

输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
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提示：

• 2 <= piles.length <= 500
• piles.length 是偶数。
• 1 <= piles[i] <= 500
• sum(piles) 是奇数。

动态规划

定义 $f[l][r]$ 为考虑区间 $[l,r]$，在双方都做最好选择的情况下，先手与后手的最大得分差值为多少。

那么 $f[1][n]$ 为考虑所有石子，先手与后手的得分差值：

• $f[1][n] > 0$，则先手必胜，返回 True
• $f[1][n] < 0$，则先手必败，返回 False

不失一般性的考虑 $f[l][r]$ 如何转移。根据题意，只能从两端取石子（令 $piles$ 下标从 $1$ 开始），共两种情况：

• 从左端取石子，价值为 $piles[l – 1]$；取完石子后，原来的后手变为先手，从 $[l + 1, r]$ 区间做最优决策，所得价值为 $f[l + 1][r]$。因此本次先手从左端点取石子的话，双方差值为：