动态规划进阶-三角形最小路径和-一一网

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$\color{red}{如果你对动态规划不熟悉，望转到该篇~}$

肝了好多天-动态规划十连-超细腻解析｜刷题打卡

$\color{green}{这道题很有意思，不看后悔！? ? ? ~}$

什么题可以选择动态规划来做？

1.计数

有多少种方式走到右下角
有多少种方法选出k个数是的和是sum

2.求最大值最小值

从左上角走到右下角路径的最大数字和
最长上升子序列长度

3.求存在性

取石子游戏,先手是否必胜
能不能选出k个数使得和是sum

leecode 120. 三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200

triangle[0].length == 1

triangle[i].length == triangle[i – 1].length + 1

-104 <= triangle[i][j] <= 104

进阶：

你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

—

动态规划四步走~~~ ❤️❤️❤️❤️

这道题，老简单了

2.1. 动态规划组成部分1：确定状态

简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么

最后一步

我们直接看这个图，只能走相邻节点，最后一步那必然是

从i-1,j-1走过来

从i-1,j走过来

子问题

这子问题还用说吗，用数组将之前走过的最小路径存下来。

走向最后一步的前一步

那么我们就可以得到

min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]

除了通过减法，我们也可以通过加法来实现。

c就是当前这个位置上的值。

$\color{yellow}{很nice ~}$ ❤️❤️❤️

2.2. 动态规划组成部分2：转移方程

没什么说的嘛，如果没看到，建议回到文章开头的链接，先试着看初级一点的动态规划文章

f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]

2.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况

f[0][0]=c[0][0]

j = i : f[i−1][i−1]+c[i][i]

j = 0 : f[i−1][0]+c[i][0

2.4. 动态规划组成部分4：计算顺序

自顶向下

参考代码

GO语言版

func minimumTotal(triangle [][]int) int  {
    n := len(triangle)
    f := make([][]int, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        f[i] = make([]int, n)
    }
    f[0][0] = triangle[0][0]
    for i := 1; i < n; i++ {
        f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle[i][0]
        for j := 1; j < i; j++ {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + triangle[i][j]
        }
        f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle[i][i]
    }
    ans := math.MaxInt32
    for i := 0; i < n; i++ {
        ans = min(ans, f[n-1][i])
    }
    return ans
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}



复制代码

java版

class Solution  {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle)  {
        int n = triangle.size();
        // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        // 从三角形的最后一行开始递推。
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)  {
            for (int j = 0; j <= i; j++)  {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}


复制代码

是不是想的太简单了点？别人要求需要On但现在是On2的时间复杂度？咋优化呢？

从三角形的最后一行开始递推。

只用到了下一行的 dp[i + 1][j]dp[i+1][j] 和 dp[i + 1][j + 1]dp[i+1][j+1]。

想象一下，我们把最小路径通过一行的方式展现出来

是不是就实现On的时间复杂度呢？

GO版

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    n := len(triangle)
    f := make([]int, n+1)
    for i := n-1; i >= 0; i-- {
        for j := 0; j <= i; j++ {
            f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j]
        }
    }
    return f[0]
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

复制代码

JAVA版

 
   class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}



    

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