图形学03 – 挑战视图、投影变换大魔王

前言

本篇主要总结了视图转换的原理、投影变换的正交和透视的矩阵推导过程。推导过程真是难的头皮发麻，还好是坚持学完了，很有收获。完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿。同时，感谢令琪大佬的醍醐灌顶的授课。

图形学系列文章：

• 图形学01 – 妙不可言的向量与线性代数
• 图形学02 – 奇奇怪怪的2D、3D变换
• 图形学03 – 挑战视图、投影变换大魔王

视图变换

模型(model)、视图(view)、投影(projection)三步走。

如何进行视图变换？

• 首先要定义相机

  • 设定位置（原点）
  • 定义相机看的方向（观测的方向）
  • 定义向上方向
    

• 重点观察

  如果相机和所有对象一起移动，“照片”将是相同的。

  

  那么我们认为，永远让相机放在一个固定的位置，所有的东西都是其他物体在移动，相机永远不动，并且相机永远放在原点，永远向 -z 方向看。并且相机永远以 y轴 为向上方向。

  通过转换相机：

  我们总是将相机变换为 原点，在 Y 处，看 -Z。

  转换过程如图：

  

  变成

  

  步骤：

  • 将 e 转换为原点
  • 将 g 旋转到 -Z
  • 将 t 旋转到 Y
  • 旋转 (g x t) 到 X

视图/相机转换

步骤：

• 公式如下，先平移后旋转。

  

  

• 将 e 转换为原点

• 旋转 g 到 -Z，t 到 Y， （g x t）到 X。（任意的一个轴，旋转到到规定的轴，不好写，这里考虑逆变换，求逆变换，再转置回来）

• 考虑它的逆旋转：X 到 (g x t)，Y 到 t，Z 到 -g
  

投影变换

计算机图形学中的投影

• 3D 到 2D
• 正交投影
• 透视投影

透视投影 vs 正交投影：

正交投影

不管远处还是近处，一股脑全挤到一个平面上。

如何理解正交投影

简单的理解：

• 相机位于原点，看着 -Z， y轴为向上方向。
• 去除z
• 将生成的矩形平移并缩放到 [-1, 1]2

通常上：

• 我们想将一个长方体 [l, r] x [b, t] x [f, n]映射到规范（正则、规范、标准）”立方体 [-1, 1]3

  

顺序会有所不同（到简单方式）：

• 通过平移居中长方体
• 缩放到“规范”立方体

矩阵表示

首先，把中心移到原点，然后缩放（长宽高 都除以 2）

警告：

• 我们所讲的，都是看向 -Z的，所以近大于远。
• 这也是为什么 OpenGL 用左手系的原因。

透视投影

透视投影, 最常见于计算机图形学、艺术、视觉系统，支持近大远小满足这个性质，平行线不平行；收敛到单点。

这里复习下齐次坐标的性质下面的章节会用到。

• (x, y, z, 1), ( kx, ky, kz, k != 0), (xz, yz, z2, z != 0) 都表示 3D 中的同一个点 (x, y, z)

• 例如 (1, 0, 0, 1)和 (2, 0, 0, 2) 都代表 (1, 0, 0)

如何理解透视投影

远平面的点挤到近平面，边做长方体，再做一次正交投影。（从透视 到 正交）

矩阵推导

• 找到一个变换

  • 回忆一下关键思想：找到变换点 (x’, y’, z’) 和原点 (x, y, z)

  

• 基于相似三角形原则，得到 y’ 与 y 的对应关系

  所以得到变换点 (x’, y’, z’) 和原始点 (x, y, z) 之间的关系

  

• 在齐次坐标中：

  

  所以“挤压”（透视到正射）投影就是这样做的

  

• 已经足以找出 Mpersp->ortho 的一部分

  

• 观察：第三行 z’

  • 近平面上的任何一点都不会改变
  • 远平面上任何一点的z都不会改变

  利用近平面上的任何一点都不会改变，这个条件推导：

  

  • 所以第三行必须是 (0 0 A B)

  

  • 现在我们已知的条件是

  

  • 同理，利用远平面上任何一点的z都不会改变，这个条件推导：

  

  • 两个式子求A、B

  

  • 最后，Mpersp->ortho 中的每个条目都是已知的
  • 最后的步骤是做正交投影（Mortho）来结束