LeetCode每日一题 446. 等差数列划分 II – 子序列

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446. 等差数列划分 II – 子序列

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,***2***,4,1,***5***,***10***] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]
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示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。
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提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• -2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1

方法一

昨天在做每日一题的时候起初把413. 等差数列划分理解成了今天这题，害，真难

动态规划：

• 状态定义：dp[i][j]表示，以下标为i结尾，且等差数列的差值为j，且数列长度大于等于2的方案，值表示为方案的数量

• 状态转移：枚举下标比i小的数，设下标为k

  • 如果nums[i] - nums[k] == j，那么下标为i，k的两个数就可以构成长度等于2且差值为j的数列；状态的定义是，数列长度大于等于2的方案，那么大于2的方案就是以k为结尾，且等差数列的差值为j，且数列长度大于等于2的方案，而这刚好对应我们的状态定义，所以dp[i][j] += dp[k][j] + 1；
  • 如果nums[i] - nums[k] != j，那么跳过即可；

一般来说，分析到这，用代码实现就行了；但是，注意这题的两个数的差值可能会很大，超过Integer范围，所以，我们不能用枚举j来求解；那么，我们逆向行之，我们来枚举k，也就是i前面的数，再去判断nums[i] - nums[k]的差值j有没有在dp[k][j]出现过；这里用哈希表数组来实现这状态定义的二维数组，Map<Long, Integer>[] dp = Map[n]

class Solution {
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Map<Long, Integer>[] dp = new Map[n];
​
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            dp[i] = new HashMap<Long, Integer>();
​
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            for (int j = 0; j < i; j ++ ) {
                Long k = nums[i] * 1l - nums[j];
                int t = 0;
                if (dp[j].containsKey(k)) {
                    res += dp[j].get(k);
                    t = dp[j].get(k);
                }
                dp[i].put(k, dp[i].getOrDefault(k, 0) + t + 1);                
            }
        }
        return res;
    }
}
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时间复杂度： O(n*n)

空间复杂度： O(n*n)