前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

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建议查看原文：【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质

1.5 行列式的性质

转置行列式

n阶行列式D：
​
​$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &… & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

令$a_{ij}=a_{ji}$，得到$D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &… & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & … &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

行列式$D^T$称为行列式$D$的转置行列式

性质1

内容

行列式与它的转置行列式相等

证明

设$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &… & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$，$D^T$为$D$的转置行列式

再设$D^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &… & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & … &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &… & b_{nn}\\ \end{vmatrix}$

又因为 我们知道$D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &… & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & … &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

所以有：$b_{ij}=a_{ji}$

推出
$D^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &… & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & … &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &… & b_{nn}\\ \end{vmatrix}$=$\sum(-1)^tb_{1p_1}b_{2p_2}…b_{np_n}$=$\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}$(利用$b_{ij}=a_{ji}$)

又因为

$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}…a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}$

所以