【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(3):行列式的性质

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标签:程序猿|C++选手|学生

简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语!

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

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1.5 行列式的性质

转置行列式

n阶行列式D:

D=a11a12...a1na21a22...a2n......an1an2...annD=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &… & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

aij=ajia_{ij}=a_{ji}

,得到

DT=a11a21...an1a12a22...an2......a1na2n...annD^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &… & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & … &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

行列式

DTD^T

称为行列式

DD

的转置行列式

性质1

内容

行列式与它的转置行列式相等

证明

D=a11a12...a1na21a22...a2n......an1an2...annD=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &… & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

DTD^T

DD

的转置行列式

再设

DT=b11b12...b1nb21b22...b2n......bn1bn2...bnnD^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &… & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & … &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &… & b_{nn}\\ \end{vmatrix}

又因为 我们知道

DT=a11a21...an1a12a22...an2......a1na2n...annD^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &… & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & … &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &… & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

所以有:

bij=ajib_{ij}=a_{ji}

推出

DT=b11b12...b1nb21b22...b2n......bn1bn2...bnnD^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &… & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & … &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &… & b_{nn}\\ \end{vmatrix}

=

(1)tb1p1b2p2...bnpn\sum(-1)^tb_{1p_1}b_{2p_2}…b_{np_n}

=

(1)tap11ap22...apnn\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}

(利用

bij=ajib_{ij}=a_{ji}

)

又因为

(1)ta1p1a2p2...anpn=(1)tap11ap22...apnn\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}…a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}

所以

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