• 作者：韩信子@ShowMeAI
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引言

本篇内容我们给大家介绍机器学习领域最常见的模型之一：逻辑回归。它也是目前工业界解决问题最广泛作为baseline的解决方案。逻辑回归之所以被广泛应用，因为其简单有效且可解释性强。

本文的结构如下：

• 第1部分：回顾机器学习与分类问题。回顾机器学习中最重要的问题之一分类问题，不同的分类问题及数学抽象。

• 第2部分：逻辑回归核心思想。介绍线性回归问题及逻辑回归解决方式，讲解逻辑回归核心思想。

• 第3部分：Sigmoid函数与分类器决策边界。介绍逻辑回归模型中最重要的Sigmoid变换函数，以及不同分类器得到的决策边界。

• 第4部分：模型优化使用的梯度下降算法。介绍模型参数学习过程中最常使用到的优化算法：梯度下降。

• 第5部分：模型过拟合问题与正则化。介绍模型状态分析及过拟合问题，以及缓解过拟合问题可以使用的正则化手段。

• 第6部分：特征变换与非线性切分。介绍由线性分类器到非线性分类场景，对特征可以进行的变换如构建多项式特征，使得分类器得到分线性切分能力。

（本篇逻辑回归算法的部分内容涉及到机器学习基础知识，没有先序知识储备的宝宝可以查看ShowMeAI的文章 图解机器学习 | 机器学习基础知识）。

1.机器学习与分类问题

1）分类问题

分类问题是机器学习非常重要的一个组成部分，它的目标是根据已知样本的某些特征，判断一个样本属于哪个类别。分类问题可以细分如下：

• 二分类问题：表示分类任务中有两个类别新的样本属于哪种已知的样本类。

• 多类分类（Multiclass Classification）问题：表示分类任务中有多类别。

• 多标签分类（Multilabel Classification）问题：给每个样本一系列的目标标签。

2）分类问题的数学抽象

从算法的角度解决一个分类问题，我们的训练数据会被映射成n维空间的样本点（这里的n就是特征维度），我们需要做的事情是对n维样本空间的点进行类别区分，某些点会归属到某个类别。

下图所示的是二维平面中的两类样本点，我们的模型（分类器）在学习一种区分不同类别的方法，比如这里是使用一条直线去对2类不同的样本点进行切分。

常见的分类问题应用场景很多，我们选择几个进行举例说明：

• 垃圾邮件识别：可以作为二分类问题，将邮件分为你「垃圾邮件」或者「正常邮件」。

• 图像内容识别：因为图像的内容种类不止一个，图像内容可能是猫、狗、人等等，因此是多类分类问题。

• 文本情感分析：既可以作为二分类问题，将情感分为褒贬两种，还可以作为多类分类问题，将情感种类扩展，比如分为：十分消极、消极、积极、十分积极等。

2.逻辑回归算法核心思想

下面介绍本次要讲解的算法——逻辑回归（Logistic Regression）。逻辑回归是线性回归的一种扩展，用来处理分类问题。

1）线性回归与分类

分类问题和回归问题有一定的相似性，都是通过对数据集的学习来对未知结果进行预测，区别在于输出值不同。

• 分类问题的输出值是离散值（如垃圾邮件和正常邮件）。

• 回归问题的输出值是连续值（例如房子的价格）。

既然分类问题和回归问题有一定的相似性，那么我们能不能在回归的基础上进行分类呢？

可以想到的一种尝试思路是，先用线性拟合，然后对线性拟合的预测结果值进行量化，即将连续值量化为离散值——即使用『线性回归+阈值』解决分类问题。

我们来看一个例子。假如现在有一个关于肿瘤大小的数据集，需要根据肿瘤的大小来判定是良性（用数字0表示）还是恶性（用数字1表示），这是一个很典型的二分类问题。

如上图，目前这个简单的场景我们得到1个直观的判定：肿瘤的大小大于5，即为恶性肿瘤（输出为1）；肿瘤的大小等于5，即为良性肿瘤（输出为0）。
下面我们尝试之前提到的思路，使用一元线性函数$h(x) = \theta_0+\theta_1x$去进行拟合数据，函数体现在图片中就是这条黑色直线。

这样分类问题就可以转化为：对于这个线性拟合的假设函数，给定一个肿瘤的大小，只要将其带入假设函数，并将其输出值和0.5进行比较：

• 如果线性回归值大于0.5，就输出1（恶性肿瘤）。

• 如果线性回归值小于0.5，就输出0（良性肿瘤）。

上图的数据集中的分类问题被完美解决。但如果将数据集更改一下，如图所示，如果我们还是以0.5为判定阈值，那么就会把肿瘤大小为6的情况进行误判为良好。

所以，单纯地通过将线性拟合的输出值与某一个阈值进行比较，这种方法用于分类非常不稳定。

2）逻辑回归核心思想

因为「线性回归+阈值」的方式很难得到鲁棒性好的分类器，我们对其进行拓展得到鲁棒性更好的逻辑回归（Logistic Regression，有些地方也叫做「对数几率回归」）。逻辑回归将数据拟合到一个logit函数中，从而完成对事件发生概率的预测。

如果线性回归的结果输出是一个连续值，而值的范围是无法限定的，这种情况下我们无法得到稳定的判定阈值。那是否可以把这个结果映射到一个固定大小的区间内（比如0到1），进而判断呢。

当然可以，这就是逻辑回归做的事情，而其中用于对连续值压缩变换的函数叫做Sigmoid函数（也称Logistic函数，S函数）。

Sigmoid数学表达式为