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题目

下降路径最小和
给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：
输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：
n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

题解

解题分析

题解思路

我们使用 dp[i][j] 表示从 (i, j) 的元素下降路径的最小值。更具题目的要求，我们下降的范围是

(i+1, j-1), (i+1, j), (i+1, j+1)。
2. 如果我们不考虑越界的情况，其实可以转化为求解 dp[i][j] = dp[i][j] + Math.min(dp[i+1][j-1] ,Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]))。
3. 由于我们只需要返回最后的结果，只需要在原来的数组上处理就行。
4. 对于边界的考虑，首先我们要保证 j 的范围在 (0, len -1) 内，对于 i 我们直接循环即可。

复杂度分析

时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(N^2)

解题代码

题解代码如下（代码中有详细的注释说明）：

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int len = matrix.length;
        for (int i = len -2 ; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < len; j++) {
                // 下面等价于：dp[i][j] = dp[i][j] +  Math.min(dp[i+1][j-1] ,Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]))
                int best = matrix[i + 1][j];
                if (j >0) {
                    best = Math.min(best, matrix[i + 1][j - 1]);
                }
                if (j + 1 < len) {
                    best = Math.min(best, matrix[i + 1][j + 1]);
                }
                // 求和
                matrix[i][j] += best;
            }
        }

        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        // 最后所有的结果都存储到了 matrix[0] 一维数组中
        // 我们只需要求出最小值即可。
        for (int s : matrix[0]) {
            ans = Math.min(ans, s);    
        }
        return ans;
    }
}
复制代码