详解三维动态规划该如何求解，以及状态定义的由来

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题目描述

这是 LeetCode 上的1473. 粉刷房子 III，难度为 Hard。

在一个小城市里，有 m 个房子排成一排，你需要给每个房子涂上 n 种颜色之一（颜色编号为 1 到 n ）。

有的房子去年夏天已经涂过颜色了，所以这些房子不需要被重新涂色。

我们将连续相同颜色尽可能多的房子称为一个街区。

比方说 houses = [1,2,2,3,3,2,1,1]，它包含 5 个街区 [{1}, {2,2}, {3,3}, {2}, {1,1}] 。

给你一个数组 houses，一个 m * n 的矩阵 cost 和一个整数 target，其中：

houses[i]：是第 i 个房子的颜色，0 表示这个房子还没有被涂色。
cost[i][j]：是将第 i 个房子涂成颜色 j+1 的花费。

请你返回房子涂色方案的最小总花费，使得每个房子都被涂色后，恰好组成 target 个街区。

如果没有可用的涂色方案，请返回 -1。

示例 1：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3

输出：9

解释：房子涂色方案为 [1,2,2,1,1]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{1}, {2,2}, {1,1}]。
涂色的总花费为 (1 + 1 + 1 + 1 + 5) = 9。
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示例 2：

输入：houses = [0,2,1,2,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3

输出：11

解释：有的房子已经被涂色了，在此基础上涂色方案为 [2,2,1,2,2]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{2,2}, {1}, {2,2}]。
给第一个和最后一个房子涂色的花费为 (10 + 1) = 11。
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示例 3：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[1,10],[10,1],[1,10]], m = 5, n = 2, target = 5

输出：5
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示例 4：

输入：houses = [3,1,2,3], cost = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]], m = 4, n = 3, target = 3

输出：-1

解释：房子已经被涂色并组成了 4 个街区，分别是 [{3},{1},{2},{3}] ，无法形成 target = 3 个街区。
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提示：

m == houses.length == cost.length
n == cost[i].length
1 <= m <= 100
1 <= n <= 20
1 <= target <= m
0 <= houses[i] <= n
1 <= cost[i][j] <= $10^4$

动态规划

定义 $f[i][j][k]$ 为考虑前 $i$ 间房子，且第 $i$ 间房子的颜色编号为 $j$ ，前 $i$ 间房子形成的分区数量为 $k$ 的所有方案中的「最小上色成本」。

我们不失一般性的考虑 $f[i][j][k]$ 该如何转移，由于某些房子本身就已经上色，上色的房子是不允许被粉刷的。

我们可以根据第 $i$ 间房子是否已经被上色，进行分情况讨论：

第 $i$ 间房子已经被上色，即 $houses[i] != 0$ ，此时只有满足 $j == houses[i]$ 的状态才是有意义的，其余状态均为 INF。

同时根据「第 $i$ 间房子的颜色 $j$ 」与「第 $i – 1$ 间房子的颜色 $p$ 」是否相同，会决定第 $i$ 间房子是否形成一个新的分区。这同样需要进行分情况讨论。

整理后的转移方程为：