关于各类「区间和」问题如何选择解决方案（含模板）| Java 刷题打卡-一一网

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题目描述

这是 LeetCode 上的 307. 区域和检索 – 数组可修改 ，难度为中等。

Tag : 「区间和」、「树状数组」

给你一个数组 nums ，请你完成两类查询，其中一类查询要求更新数组下标对应的值，另一类查询要求返回数组中某个范围内元素的总和。

实现 NumArray 类：

NumArray(int[] nums) 用整数数组 nums 初始化对象
void update(int index, int val) 将 nums[index] 的值更新为 val
int sumRange(int left, int right) 返回子数组 nums[left, right] 的总和（即，nums[left] + nums[left + 1], …, nums[right]）

示例：

输入：
["NumArray", "sumRange", "update", "sumRange"]
[[[1, 3, 5]], [0, 2], [1, 2], [0, 2]]
输出：
[null, 9, null, 8]

解释：
NumArray numArray = new NumArray([1, 3, 5]);
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 9 ，sum([1,3,5]) = 9
numArray.update(1, 2);   // nums = [1,2,5]
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 8 ，sum([1,2,5]) = 8
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提示：

1 <= nums.length <= 3 * $10^4$
-100 <= nums[i] <= 100
0 <= index < nums.length
-100 <= val <= 100
0 <= left <= right < nums.length
最多调用 3 * $10^4$ 次 update 和 sumRange 方法

解题思路

这是一道很经典的题目，通常还能拓展出一大类问题。

针对不同的题目，我们有不同的方案可以选择（假设我们有一个数组）：

数组不变，求区间和：「前缀和」、「树状数组」、「线段树」
多次修改某个数，求区间和：「树状数组」、「线段树」
多次整体修改某个区间，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间的数据范围）
多次将某个区间变成同一个数，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间的数据范围）

这样看来，「线段树」能解决的问题是最多的，那我们是不是无论什么情况都写「线段树」呢？

答案并不是，而且恰好相反，只有在我们遇到第 4 类问题，不得不写「线段树」的时候，我们才考虑线段树。

因为「线段树」代码很长，而且常数很大，实际表现不算很好。我们只有在不得不用的时候才考虑「线段树」。

总结一下，我们应该按这样的优先级进行考虑：

简单求区间和，用「前缀和」
多次将某个区间变成同一个数，用「线段树」
其他情况，用「树状数组」

树状数组

本题显然属于第 2 类问题：多次修改某个数，求区间和。

我们使用「树状数组」进行求解。

「树状数组」本身是一个很简单的数据结构，但是要搞懂其为什么可以这样「查询」&「更新」还是比较困难的（特别是为什么可以这样更新），往往需要从「二进制分解」进行出发理解。

因此我这里直接提供「树状数组」的代码，大家可以直接当做模板背过即可。

代码：

class NumArray {
    int[] tree;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tree[i];
        return ans;
    }
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tree[i] += u;
    }

    int[] nums;
    int n;
    public NumArray(int[] _nums) {
        nums = _nums;
        n = nums.length;
        tree = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) add(i + 1, nums[i]);
    }
    
    public void update(int i, int val) {
        add(i + 1, val - nums[i]);
        nums[i] = val;
    }
    
    public int sumRange(int l, int r) {
        return query(r + 1) - query(l);
    }
}
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时间复杂度：add 操作和 query 的复杂度都是 $O(\log{n})$ ，因此构建数组的复杂度为 $O(n\log{n})$ 。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度： $O(n)$

树状数组模板

代码：

// 上来先把三个方法写出来
{
    int[] tree;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    // 查询前缀和的方法
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tree[i];
        return ans;
    }
    // 在树状数组 x 位置中增加值 u
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tree[i] += u;
    }
}

// 初始化「树状数组」，要默认数组是从 1 开始
{
    for (int i = 0; i < n; i++) add(i + 1, nums[i]);
}

// 使用「树状数组」：
{   
    void update(int i, int val) {
        // 原有的值是 nums[i]，要使得修改为 val，需要增加 val - nums[i]
        add(i + 1, val - nums[i]); 
        nums[i] = val;
    }
    
    int sumRange(int l, int r) {
        return query(r + 1) - query(l);
    }
}
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