图形学02 – 奇奇怪怪的2D、3D变换

前言

本篇主要对计算机图形学中变换的知识点进行总结，描述了2D变换、齐次坐标、组合变换、三维变换等的一些使用。同时，感谢令琪大佬的醍醐灌顶的授课。

为什么要学习变换

• 可以用于建模
• 查看从3D世界到2D平面的投影变换

变换在动画，成像以及各方面都得到广泛的应用，这就是我们为什么要学习它。

2维变换

• 使用矩阵表示变换 (线性变换)
• 旋转、缩放、剪切

缩放变换

矩阵的写法形式：

反射变换

表示：

矩阵的写法形式：

剪切变换

提示：

• 水平位移在 y=0 处为 0
• 水平位移在 y=1 处为 a
• 垂直位移始终为 0

矩阵的写法形式：

旋转变换

默认是（0，0）点，顺时针旋转

旋转矩阵：（基于线性变换，相同的维度）

齐次坐标

平移变换场景：

平移不能以矩阵形式表示，只能是这样：

所以，平移不是线性变换

但我们不希望平移变换成为一个特殊的变换。

是否有一种统一的方式来表示所有的变换？

齐次坐标的解决方案

添加第三个坐标

平移变换

平移的矩阵表示：

如果结果的 w 坐标为 1 或 0 则有效操作

在齐次坐标中，

仿射变换

仿射变换 = 线性映射 + 变换

利用其次坐标

利用齐次坐标表示缩放旋转平移（2维）

就平移来说，用一个矩阵，可以把线性变换的部分（2×2），和平移这一部分都统一的写成矩阵的形式。

这样一来，我们用其次坐标，就可以各种不同的变换写成同一个。

统一的表示形式，而代价就是引入了额外的数字，任何一个点（x,y）都写成了(x,y,1)。任何一个向量（x,y）都写成了（x,y,0）。

逆变换

就是把一个变换的操作反过来，就是逆变换。

是矩阵和几何意义上的变换的逆矩阵。

变换组合

变换顺序问题

不同的变换顺序，影响结果。

方案一：

先平移，后旋转

方案二：

先旋转，后平移

顺序不一样，得到的结果也不一样。

同理，矩阵乘的顺序不一样，结果不一样。

推导得出，矩阵不满足交换律。

向量乘以一个矩阵，矩阵应该放在左边，注意矩阵从右到左应用（从右向左乘）

组合公式

如仿射变换序列 A1, A2, A3, …

• 通过矩阵乘法
• 对性能非常重要！

分解复杂的变换

如何围绕给定点 c 旋转？

1. 将中心平移到原点
2. 旋转
3. 平移返回

矩阵表示：

3维变换

再次使用齐次坐标表示：

同样的道理，定义（x,y,z,w）,只要w !=0, 就表示是一个点。

只有w = 1的情况下， 表示一个就是3维的点。

如果w != 1， w != 0,这个这时 想x,y,z同时除以w, 就变成w = 1的情况了。

（x/w, y/w, z/w）

使用4×4矩阵中为仿射变换：